El agujero

Respuesta a "Las Ocho Reinas"

Gracias a Francisco Saenz-Díez, Pablo Sambuco, Jorge Pero, Pablo Hernández, Ramiro Allende, Ana Luz Zamorano, Gustavo C. R. Peña, Jesús Lira, Alberto Maldonado, Paco Ruiz, Julio Garroz, Jaime Acevedo, Joaquim Marzà, Alberto González Merino y Javier Restrepo por sus respuestas (y a los que me habéis escrito después y no he puesto aquí).

Joaquim Marzà y Francisco Saenz-Díez enviaron listas completas con todas las posibles soluciones: hay en total 96 formas de situar las reinas en el tablero de manera que ninguna de ellas ataque a las otras. En realidad, hay 12 soluciones "fundamentales" en el sentido de que todas las demás pueden obtenerse a partir de éstas girando o reflejando el tablero.

Podéis encontrar la lista completa al final de este texto. En MathWorld hay una ilustración con doce soluciones fundamentales.


Una posible solución
(foto de Pablo Hernández)

Es verdad, este problema es muy famoso y no es que contenga mucha novedad... De hecho, se ha merecido un puesto en la lista de "Los problemas más conocidos del mundo" en la página de Snark. Pero eso sí: es un problema con historia, y un problema bonito. "¿Bonito en qué sentido?", se podría preguntar. Bien... Bonito en el sentido de que aunque aparentemente no encierra mucha más sutileza que el ir probando a ver dónde puede uno colocar las reinas, en realidad hay formas bastante ingeniosas de construir algunas soluciones basadas en argumentos relacionados con teoría de números (como explica en parte el artículo de la Wikipedia en su versión en inglés). Es también un problema que se presta a extensiones interesantes, como la más inmediata: situar n reinas en un tablero de n casillas de alto por n de ancho. O una más sorprendente: situar nueve reinas y un peón en un tablero ocho por ocho sin que haya dos reinas que se amenacen (la gracia es que el peón puede interponerse hábilmente en varios de los ataques). El número de problemas que se han estudiado relacionados con la colocación de piezas en tableros de ajedrez es inacabable a efectos prácticos.

El problema tiene además el encanto de su historia: algunos de las personas cuyas ideas han marcado la matemática actual le han prestado atención. El mismo Gauss intentó resolverlo y, curiosamente, metió la pata dejando escapar algunas de las soluciones. George Pólya escribió sobre él. Más tarde, el problema se convirtió en un buen entrenamiento para probar nuevos algoritmos de programación y Donald Knuth dedicó parte de su artículo "Dancing links" (que se puede descargar de su página, en la sección de artículos) a ilustrar el uso de cierto método de programación para resolverlo. Se han publicado artículos sobre este problema en algunas de las revistas más respetadas en el campo de las matemáticas, y ésta no es más que una selección un tanto arbitraria del esfuerzo que se ha dedicado al tema. Para una bibliografía muy completa puedes ver esta página.

Por cierto: la Wikipedia en español está echando de menos un artículo sobre el problema de las ocho reinas...

Lista de soluciones

(Enviadas por Joaquim Marzà y Francisco Saenz-Díez).

En la siguiente lista los números indican en qué lugar poner las reinas en cada una de las filas del tablero, por orden. Por ejemplo, la primera solución representa una reina en la primera casilla de la primera fila, una en la quinta casilla de la segunda fila, una en la octava casilla de la tercera fila...

1  -- 15863724
2  -- 16837425
3  -- 17468253
4  -- 17582463
5  -- 24683175
6  -- 25713864
7  -- 25741863
8  -- 26174835
9  -- 26831475
10 -- 27368514
11 -- 27581463
12 -- 28613574
13 -- 31758246
14 -- 35281746
15 -- 35286471
16 -- 35714286
17 -- 35841726
18 -- 36258174
19 -- 36271485
20 -- 36275184
21 -- 36418572
22 -- 36428571
23 -- 36814752
24 -- 36815724
25 -- 36824175
26 -- 37285146
27 -- 37286415
28 -- 38471625
29 -- 41582736
30 -- 41586372
31 -- 42586137
32 -- 42736815
33 -- 42736851
34 -- 42751863
35 -- 42857136
36 -- 42861357
37 -- 46152837
38 -- 46827135
39 -- 46831752
40 -- 47185263
41 -- 47382516
42 -- 47526138
43 -- 47531682
44 -- 48136275
45 -- 48157263
46 -- 48531726
47 -- 51468273
48 -- 51842736
49 -- 51863724
50 -- 52468317
51 -- 52473861
52 -- 52617483
53 -- 52814736
54 -- 53168247
55 -- 53172864
56 -- 53847162
57 -- 57138642
58 -- 57142863
59 -- 57248136
60 -- 57263148
61 -- 57263184
62 -- 57413862
63 -- 58413627
64 -- 58417263
65 -- 61528374
66 -- 62713584
67 -- 62714853
68 -- 63175824
69 -- 63184275
70 -- 63185247
71 -- 63571428
72 -- 63581427
73 -- 63724815
74 -- 63728514
75 -- 63741825
76 -- 64158273
77 -- 64285713
78 -- 64713528
79 -- 64718253
80 -- 68241753
81 -- 71386425
82 -- 72418536
83 -- 72631485
84 -- 73168524
85 -- 73825164
86 -- 74258136
87 -- 74286135
88 -- 75316824
89 -- 82417536
90 -- 82531746
91 -- 83162574
92 -- 84136275

En la siguiente lista las columnas están numeradas del 1 al ocho y las filas nombradas con las letras de la a a la h.

1:  a1, b5, c8, d6, e3, f7, g2, h4.
2:  a1, b6, c8, d3, e7, f4, g2, h5.
3:  a1, b7, c4, d6, e8, f2, g5, h3.
4:  a1, b7, c5, d8, e2, f4, g6, h3.
5:  a2, b4, c6, d8, e3, f1, g7, h5.
6:  a2, b5, c7, d1, e3, f8, g6, h4.
7:  a2, b5, c7, d4, e1, f8, g6, h3.
8:  a2, b6, c1, d7, e4, f8, g3, h5.
9:  a2, b6, c8, d3, e1, f4, g7, h5.
10: a2, b7, c3, d6, e8, f5, g1, h4.
11: a2, b7, c5, d8, e1, f4, g6, h3.
12: a2, b8, c6, d1, e3, f5, g7, h4.
13: a3, b1, c7, d5, e8, f2, g4, h6.
14: a3, b5, c2, d8, e1, f7, g4, h6.
15: a3, b5, c2, d8, e6, f4, g7, h1.
16: a3, b5, c7, d1, e4, f2, g8, h6.
17: a3, b5, c8, d4, e1, f7, g2, h6.
18: a3, b6, c2, d5, e8, f1, g7, h4.
19: a3, b6, c2, d7, e1, f4, g8, h5.
20: a3, b6, c2, d7, e5, f1, g8, h4.
21: a3, b6, c4, d1, e8, f5, g7, h2.
22: a3, b6, c4, d2, e8, f5, g7, h1.
23: a3, b6, c8, d1, e4, f7, g5, h2.
24: a3, b6, c8, d1, e5, f7, g2, h4.
25: a3, b6, c8, d2, e4, f1, g7, h5.
26: a3, b7, c2, d8, e5, f1, g4, h6.
27: a3, b7, c2, d8, e6, f4, g1, h5.
28: a3, b8, c4, d7, e1, f6, g2, h5.
29: a4, b1, c5, d8, e2, f7, g3, h6.
30: a4, b1, c5, d8, e6, f3, g7, h2.
31: a4, b2, c5, d8, e6, f1, g3, h7.
32: a4, b2, c7, d3, e6, f8, g1, h5.
33: a4, b2, c7, d3, e6, f8, g5, h1.
34: a4, b2, c7, d5, e1, f8, g6, h3.
35: a4, b2, c8, d5, e7, f1, g3, h6.
36: a4, b2, c8, d6, e1, f3, g5, h7.
37: a4, b6, c1, d5, e2, f8, g3, h7.
38: a4, b6, c8, d2, e7, f1, g3, h5.
39: a4, b6, c8, d3, e1, f7, g5, h2.
40: a4, b7, c1, d8, e5, f2, g6, h3.
41: a4, b7, c3, d8, e2, f5, g1, h6.
42: a4, b7, c5, d2, e6, f1, g3, h8.
43: a4, b7, c5, d3, e1, f6, g8, h2.
44: a4, b8, c1, d3, e6, f2, g7, h5.
45: a4, b8, c1, d5, e7, f2, g6, h3.
46: a4, b8, c5, d3, e1, f7, g2, h6.
47: a5, b1, c4, d6, e8, f2, g7, h3.
48: a5, b1, c8, d4, e2, f7, g3, h6.
49: a5, b1, c8, d6, e3, f7, g2, h4.
50: a5, b2, c4, d6, e8, f3, g1, h7.
51: a5, b2, c4, d7, e3, f8, g6, h1.
52: a5, b2, c6, d1, e7, f4, g8, h3.
53: a5, b2, c8, d1, e4, f7, g3, h6.
54: a5, b3, c1, d6, e8, f2, g4, h7.
55: a5, b3, c1, d7, e2, f8, g6, h4.
56: a5, b3, c8, d4, e7, f1, g6, h2.
57: a5, b7, c1, d3, e8, f6, g4, h2.
58: a5, b7, c1, d4, e2, f8, g6, h3.
59: a5, b7, c2, d4, e8, f1, g3, h6.
60: a5, b7, c2, d6, e3, f1, g4, h8.
61: a5, b7, c2, d6, e3, f1, g8, h4.
62: a5, b7, c4, d1, e3, f8, g6, h2.
63: a5, b8, c4, d1, e3, f6, g2, h7.
64: a5, b8, c4, d1, e7, f2, g6, h3.
65: a6, b1, c5, d2, e8, f3, g7, h4.
66: a6, b2, c7, d1, e3, f5, g8, h4.
67: a6, b2, c7, d1, e4, f8, g5, h3.
68: a6, b3, c1, d7, e5, f8, g2, h4.
69: a6, b3, c1, d8, e4, f2, g7, h5.
70: a6, b3, c1, d8, e5, f2, g4, h7.
71: a6, b3, c5, d7, e1, f4, g2, h8.
72: a6, b3, c5, d8, e1, f4, g2, h7.
73: a6, b3, c7, d2, e4, f8, g1, h5.
74: a6, b3, c7, d2, e8, f5, g1, h4.
75: a6, b3, c7, d4, e1, f8, g2, h5.
76: a6, b4, c1, d5, e8, f2, g7, h3.
77: a6, b4, c2, d8, e5, f7, g1, h3.
78: a6, b4, c7, d1, e3, f5, g2, h8.
79: a6, b4, c7, d1, e8, f2, g5, h3.
80: a6, b8, c2, d4, e1, f7, g5, h3.
81: a7, b1, c3, d8, e6, f4, g2, h5.
82: a7, b2, c4, d1, e8, f5, g3, h6.
83: a7, b2, c6, d3, e1, f4, g8, h5.
84: a7, b3, c1, d6, e8, f5, g2, h4.
85: a7, b3, c8, d2, e5, f1, g6, h4.
86: a7, b4, c2, d5, e8, f1, g3, h6.
87: a7, b4, c2, d8, e6, f1, g3, h5.
88: a7, b5, c3, d1, e6, f8, g2, h4.
89: a8, b2, c4, d1, e7, f5, g3, h6.
90: a8, b2, c5, d3, e1, f7, g4, h6.
91: a8, b3, c1, d6, e2, f5, g7, h4.
92: a8, b4, c1, d3, e6, f2, g7, h5.
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