El agujero

Sombreros de Colores

Casi todo el mundo ha oído alguna vez un problema como el siguiente: "En una bolsa hay tres sombreros negros y dos rojos; a tres personas se les explica que se les va a colocar uno de ellos en la cabeza a cada una, de forma que cada uno puede ver los de los demás pero no el suyo. Se les pide que intenten adivinar el color de su propio sombrero, y que avisen en cuanto lo consigan. Una de ellas, una vez puestos los sombreros, ve que sus compañeros tienen ambos sombreros negros. Pasa un momento, nadie dice nada, y entonces él, que era un poco más rápido que los demás, adivina el color de su sombrero. ¿De qué color era? ¿Cómo lo sabía?." (Se supone que los participantes son todos muy listos y pueden hacer cualquier razonamiento correcto que a uno se le ocurra). Éste no es un problema difícil. Si alguien no lo conoce y quiere resolverlo él mismo, debe dejar de leer hasta que lo haga, porque hay que destriparlo para lo que viene después. La mayor parte de lo que viene está sacada del libro "Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas", de Martin Gardner, capítulo 8.

Efectivamente, la persona que ve dos sombreros negros sabe que el suyo no puede ser rojo, porque de lo contrario cualquiera de sus contrincantes vería un sombrero rojo y uno negro, y deduciría que el suyo no puede ser rojo, porque en ese caso el que lleva el negro vería dos rojos y sabría inmediatamente el color del suyo (no había más que dos sombreros rojos en la bolsa). Por tanto, deduce que su sombrero debe ser negro.

Hay variantes de este problema como para empezar y no parar, pero propondré una paradoja relacionada con él que me parece sorprendente. Cambiemos ligeramente el problema anterior: supongamos que se le pregunta a cada jugador, por orden, si puede deducir el color de su sombrero. En la situación anterior, con un sombrero negro en cada cabeza, ocurre que el primer jugador contesta "no". El segundo jugador tampoco tiene argumentos para averiguar su color. Pero el tercer jugador razona de forma parecida a como se explicó antes y dice "sí".

Hasta aquí no hay nada extraño. Sin embargo, hay una pregunta muy molesta escondida detrás.

Antes de empezar a preguntar, las tres personas, que ven cada uno dos sombreros negros, saben con certeza que el primero de ellos no podrá nunca saber el color de su sombrero (la única forma que tendría de saberlo es ver dos rojos en las cabezas de sus compañeros, cosa que saben que es falsa). Entonces, ¿para qué sirve preguntarle al primer jugador, si los otros dos saben de antemano cuál será su respuesta?. Puede observarse, sin embargo, que el tercer jugador no puede hacer su razonamiento si no se le pregunta al primero.

Pues bien, ésa es la pregunta:

Pregunta número 1: ¿Por qué hace falta preguntarle al primer jugador, si los demás ya conocen su respuesta?

Existe otra variante parecida del mismo juego, mucho, muchísimo más difícil, en mi opinión. En ella, tenemos a dos participantes, que serán esta vez jugadoras. Están sentadas en dos sillas, una frente a la otra. Un árbitro les explica a ambas que se les pondrá a cada una de ellas un número entero positivo en la frente, y que los números que se les pongan serán consecutivos. Se les preguntará por turno si saben cuál es su propio número, las veces que sea necesario hasta que una de ellas conteste "sí". (Por supuesto, cada una ve el número de la otra pero no el suyo). Los números que se les ponen son el 99 y el 100, y se le pregunta primero a la que lleva el 100.

Pregunta número 2: ¿Cuántas preguntas harán falta para que algunas de ellas averigüe su número (si eso ocurre), y cuál de ellas lo sabrá primero?

No sé si he dicho que es difícil. Lo diré otra vez: es difícil.

Se puede observar, de paso, que la misma paradoja de antes puede verse aquí, en una forma más desconcertante aún, como se puede apreciar una vez que se sabe la solución.

Bien. Como siempre, espero que os gusten los problemas, y espero también vuestras soluciones y comentarios.

Has caído en el agujero.
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