Mucha gente ha contestado esencialmente que el fallo es que el número 1 tiene dos raíces: 1 y -1 (y por tanto la primera igualdad está mal). Esto no es así: es corriente en matemáticas usar el símbolo de raíz para denotar, de entre las dos raíces de un número, la que es positiva. Está también extendido el escribir, por ejemplo, "raíz de 4 igual a más/menos dos" para indicar que hay dos números que al cuadrado dan 4: el 2 y el -2. Si tu contestación estaba basada en esto, por favor vuelve a buscar el error sabiendo que cuando escribo el símbolo de raíz con un número positivo debajo me estoy refiriendo a la raíz positiva de ese número. Es verdad que al final el problema básico está en la elección de la raíz, pero el fallo no está en la primera igualdad, sino en la tercera, que es sencillamente falsa. El engaño está en que se usa la propiedad distributiva de las raíces, que no es cierta en cuando se trata de números negativos. Jorge Antonio dice lo siguiente en su mensaje:

"Hace poco, mi profesor de variable compleja hizo un truco para engañarnos de manera parecida, la cuestión es que la factorización que nosotros estamos acostumbrados a hacer en números reales en las raíces sólo funciona cuando se trata de números positivos, (estoy hablando de la tercera igualdad). Este principio de que la raíz de un producto es el producto de las raíces de los factores, en efecto sólo funciona cuando los factores son mayores que cero"

Sin embargo, no es cierto que esta propiedad sólo funcione con números positivos. Antes de decir exactamente cómo puede usarse, veamos cómo puede definirse la raíz para los números complejos (incluyendo a los números negativos, claro). Se sigue teniendo que elegir entre dos posibles, como en el caso real: para cualquier número complejo existen otros dos números complejos distintos que elevados al cuadrado dan el número original, salvo en el caso del cero (para el que sólo hay uno: el cero). La elección más común es tomar la positiva para números positivos; para números negativos, la que tiene parte imaginaria positiva (por ejemplo, √-1 = i); y para cualquier otro número imaginario, la que tiene parte imaginaria del mismo signo que él. A la función raíz que resulta se le llama la rama principal de la raíz. Con el acuerdo de que al escribir √x nos referimos a la rama principal de la raíz de x, es cierto que √xy = √x √y cuando el argumento principal de x y el argumento principal de y sumen un número entre -π y π, sin incluir -π (el argumento principal de un número complejo que no sea cero es el ángulo que forma con el eje real, en radianes y tomado desde el número hacia la parte positiva del eje; se considera positivo si el número tiene parte imaginaria positiva y negativo si el número tiene parte imaginaria negativa; vale π para los números negativos). Como ocurría en la demostración falsa, no es cierto que √(-1)·(-1) = √-1·√-1, porque la suma de los argumentos de estos dos números es π+π = 2π, que no está entre -π y π . Sin embargo sí es verdad que √-1·4 = √-1·√4, y que √i·i = √i·√i.

Has caído en el agujero.
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