El agujero
Respuesta a "Todo el Mundo Tiene la Misma Edad"
El fallo está en la parte en la que se deduce que la afirmación es cierta para n+1 personas suponiéndolo cierto para n. El razonamiento que se hace no es válido para el caso en el que n=2, es decir, para sólo dos personas, porque en ese caso no hay nadie más aparte de Juan y Lisa y no podemos hablar de "el resto de ellas". No tenemos entonces ningún grupo de personas sobrantes con el que continuar el razonamiento. Como dice Nicolás Cianci:
"El razonamiento n -> n+1 es cierto para cualquier n>1... de hecho es fácil ver que si dos personas cualesquiera tienen la misma edad, entonces todas las personas tienen la misma edad. Pero cuando quitamos del grupo de n+1 a una persona el conjunto debe contener al menos 2 personas que tengan la misma edad para que el razonamiento sea válido; esto es: 2 -> 3, 3 -> 4, 4 -> 5, etc. Pero es falso que 1 -> 2 y ahí es donde falla el razonamiento."
En una demostración por inducción el razonamiento que se usa para pasar de n a n+1 debe ser válido siempre que no hayamos demostrado ya anteriormente la afirmación de la que se trata para n+1. Para que la prueba fuera válida en este caso necesitaríamos demostrar la afirmación para n=2, cosa que desde luego no puede hacerse (yo conozco al menos a dos personas que no tienen la misma edad).
Dos o tres personas contestan que el fallo tiene algo que ver con que el conjunto de personas no está ordenado, o con que en la demostración lo desordenamos. ¡Esto no tiene nada que ver! No está dentro de la cuestión si el conjunto de personas está ordenado o no. En general la inducción se aplica para probar propiedades que dependen de un cierto número natural n y el orden no suele tener un papel importante en este tipo de pruebas porque se sobreentiende que los naturales están ordenados como siempre. En el enunciado de la pregunta podéis ver que lo que se quería demostrar se refiere a los números naturales y no directamente a las personas.
Me dicen que este problema fue propuesto (¿originalmente?) por George Polya. De la respuesta de Juan Martínez Tarrazó:
"Es el mismo problema de "todas las niñas son rubias" que propuso George Polya. Hay aún un problema más curioso, que ahora no recuerdo, donde se preguntaba algo parecido sobre paralelismo o perpendicularidad de n rectas en el plano o espacio llegando a la paradoja de que todas son paralelas o perpendiculares o algo así, donde lo que fallaba era el paso de n=2 a n=3. Siendo la base, n=1, y el paso de n=1 a n=2 verdaderos."
La misma persona nos dice que el problema de las niñas rubias (el mismo que éste) está en el libro de George Pólya Matemáticas y Razonamiento Plausible, así como en la página 31 del libro Matemática Discreta (2ª ed.) de J. C. Ferrando y V. Gregori, publicado por Reverté.
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