El agujero

Respuesta a "Cuadrados en un tablero de Go"

"Muy bien", dijo Deep Thought.
"La Respuesta a la Gran Pregunta..."
"¡Sí...!"
"De la Vida, el Universo y el Todo..." dijo Deep Thought.
"¡Sí...!"
"Es..." dijo Deep Thought, y paró.
"¡Sí...!"
"Es..."
"¿¡¡¡Sí...!!!...?"

- Douglas Adams, The Hitchhiker's Guide to the Galaxy

Ante todo, debo decir que la pregunta no estaba clara... Ya dije que en un tablero de Go, normalmente, las líneas horizontales no están espaciadas igual que las verticales. De todas formas, las preguntas poco claras tienen también su gracia porque decidir cuál es la pregunta es parte de la respuesta (si alguien piensa que esto es una excusa seguramente tiene razón). Veréis.

Al principio (antes de la sugerencia) varias personas enviaron la respuesta al problema suponiendo que el tablero es cuadrado. Aquí está la de Juan Bonillo:

Lo primero observar que el tablero de Go es 18x18. Reduzcamos la pregunta a un caso más sencillo y más conocido. ¿Cuántos cuadros hay en un tablero de ajedrez? (tablero de 8x8), o más sencillo aún y para que veamos el proceso, cuántos cuadros hay en un tablero 3x3.

En un tablero 3x3 vemos que hay un cuadrado de 3x3, 4 cuadrados de 2x2, 9 cuadrados de 1x1, con lo que tenemos 1+4+9=14. Lo interesante es observar que lo que he hecho es la suma de 1 al cuadrado + 2 al cuadrado + 3 al cuadrado= (12)+(22)+(32); es decir, la suma de cuadrados desde 1 hasta 3.

En un tablero de ajedrez, sabiendo estas pautas se puede observar que tenemos

    1  cuadro  8x8
    4  cuadros 7x7
    9  cuadros 6x6
    16 cuadros 5x5
    25 cuadros 4x4
    36 cuadros 3x3
    49 cuadros 2x2
    64 cuadros 1x1
Es decir, la suma de cuadrados desde 1 hasta 8. Utilizando la conocida fórmula de la suma de cuadrados de los números naturales,

S= (n(n+1)(2n+1))/6 = (8*9*17)/6 = 204 cuadros

(Aquí, n es el número de cuadrados que queremos sumar). Con el mismo razonamiento tendríamos que en un tablero de Go el número de cuadros sería la suma de los cuadrados desde 1 hasta 18.

S=(n(n+1)(2n+1))/6=(18*19*37)/6=2109 cuadros.

Claro, el interés de la pregunta estaba en que los tablero de Go no suelen ser cuadrados... ¿cómo son? Traduzco de http://mathworld.wolfram.com/Go.html:

"Los tableros de Go tienen varias peculiaridades, incluyendo el hecho de que la razón entre su ancho y su largo es aproximadamente 0.91 (en lugar de la unidad usual en los juegos occidentales). Esto se hace para que con la perspectiva el tablero se vea cuadrado. Otra es que las fichas de go (llamadas piedras) son en realidad ligeramente mayores que el espaciado que el tablero permite, requiriendo así que las piedras sean colocadas tapándose un poco unas a otras para que quepan y provocando un estado de ligero desorden en un tablero lleno."

En Sensei's Library hay más detalles sobre las medidas corrientes de un tablero de Go. A pesar de que allí se explica que no hay medidas oficiales establecidas, se sugiere que la razón entre el espaciado horizontal y el vertical es de 14/15. ¿Cuántos cuadrados hay en un tablero así? En este caso los únicos cuadrados posibles son los formados por 14 "cuadraditos" verticales y 15 horizontales (que medirán lo mismo a lo largo y a lo ancho gracias a la diferencia en el espaciado de las líneas); hay 5·4 = 20 cuadrados así en un tablero 18x18.

En un tablero en el que la razón sea 0.91 no hay ningún cuadrado dibujado (los múltiplos de 0.91 no son enteros hasta 0.91·100, y el tablero sólo tiene 18 cuadritos de lado). Si la razón es 0.9 entonces los cuadros formados por 9 cuadraditos verticales y 10 horizontales son de verdad cuadrados; de éstos hay 9·10 = 90 posibles.

En la pregunta original que leí se explicaba que la razón suele ser de 12/13 (lo cual no parece ser tan común después de todo). Si calculáis cuántos cuadrados habría en este caso y tenéis un índice friki razonable podréis deducir el por qué de la cita al principio de esta respuesta.

La razón no tiene por qué ser una de las mencionadas arriba. En un ataque de generalidad, Héctor Pasten nos envía la respuesta para cualquier razón que queramos elegir (¡gracias!):

La verdad es que no tengo idea de como es un tablero de go, pues en internet aparecen bien cuadrados, así que formularé una respuesta general para un tablero de N por N cuadraditos de lado, donde cada cuadradito es en realidad un rectángulo cuyos lados miden a y b, a menor o igual que b (si no se cumple a menor o igual que b, basta mirar el tablero girándolo 90 grados).

Ahora expresamos la razón a:b con antecedente y consecuente enteros, obteniendo a:b=A:B tal que A y B son naturales y la fracción A/B no es simplificable.

De la proporción a:b=A:B deducimos aB=Ab=L que es el lado del cuadrado más pequeño que podemos encontrar en el tablero, donde aB=Ab=L está medido en las mismas unidades de longitud que a y que b. Así, el lado del cuadrado más pequeño que podemos encontrar es L. Si L > aN; Ba>aN; B>N entonces no es posible encontrar cuadrados en el tablero (recordemos que a es el lado corto de cada rectangulito).

Si colocamos el tablero frente a nosotros de modo que la base es mayor o igual a la altura (base considerada hacia los lados, altura desde nosotros al frente) entonces la base del tablero mide b*N, y la altura mide a*N. El cuadrado mas pequeño que podemos encontrar tiene B rectángulos de altura y A rectángulos de base, pues en unidades de longitud tiene Ba=Ab de lado. Ahora supongamos B menor o igual que N para que nos sea posible encontrar al menos un cuadrado en el tablero. Así, este cuadrado-unidad que hallamos, cuyo lado mide L, lo podemos imaginar moviéndose en el tablero, a saltos, ubicándose en distintas posiciones del tablero. La cantidad de estas posibles posiciones son (N-B+1)*(N-A+1). Luego, digamos que B entra K veces en N dejando un resto entero R, que obviamente debe ser menor que B y mayor o igual a 0. En otras palabras, KB+R=N; B=(N-R)/K. De esto se deduce que hay K distintos tamaños de cuadrados contenidos en el tablero, donde la altura del mayor es KB rectángulos, y en unidades de longitud, el lado del cuadrado más grande mide KBa. La cantidad de cuadrados de un cierto tamaño esta dada por (N-U+1)*(N-V+1) donde U es la altura de este tipo de cuadrado medida en esos rectangulitos de lados a y b, y V es la anchura de este cuadrado también medida en estos rectangulitos.

Luego, el total de cuadrados es la suma de todos los totales de cuadrados de cada tamaño, o sea, es la suma desde P=1 hasta P=K de la expresión (N-PB+1)*(N-PA+1). Por ejemplo, digamos que el tablero es de 18 por 18 rectangulitos (N=18), y que la base de cada rectángulo mide 1,5cm y su altura mide 0,9cm. Se tiene 0,9:1,5=9:15 pero 9/15 es simplificable, luego nos sirve 3/5. Aquí A=3 y B=5, obteniendo que los lados del menor cuadrado que hay en el tablero son de 3*1,5=5*0,9=4,5 o sea, tenemos que L=4,5cm, y efectivamente, eso mide el lado del cuadrado más pequeño de este tablero que propuse de ejemplo. Como B=5 entra 3 veces en N=18 tenemos que K=3, o sea, el lado de los cuadrados que hay en el tablero puede ser 4,5cm*1=4,5cm ; 4,5cm*2=9cm y 4,5cm*3=13,5. Luego, la cantidad total de cuadrados en este tablero es la suma desde P=1 hasta P=K=3 de la expresión (18-5P+1)*(18-3P+1); desarrollando esta expresión tenemos:
(18-5P+1)*(18-3P+1)=(19-5P)*(19-3P)=361-57P-95P+15P^2
si P=1, entonces 361-152P+15P^2= 224
si P=2, entonces 361-152P+15P^2=117
si P=3, entonces 361-152P+15P^2=40
luego para este tablero el total de cuadrados es de 224+117+40=381. Este procedimiento se puede aplicar a cualquier tablero. Si K=0, entonces no es posible encontrar cuadrados en el tablero.

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