El agujero

La inducción matemática

La inducción matemática es un método de demostración que suele ser muy útil en problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...) cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos:

Si se consigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para todos los números naturales, de forma parecida a las filas de fichas de dominó cuando caen: hemos demostrado que la primera ficha (el 1) cae (primer paso), y que si cae una ficha también debe caer la siguiente (si es cierta para n, debe serlo para n+1, segundo paso). La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple algo, y si cuando un número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo, entonces todos los números lo cumplen.

Este método es mucho más general de lo que pueda parecer a primera vista; si queremos, por ejemplo, demostrar una propiedad para todos los números pares, no tenemos más que aplicar la inducción a la afirmación "el número 2n cumple la propiedad, para todo natural n", que se refiere a todos los números naturales y es equivalente a la inicial. De la misma forma, la inducción es útil para demostrar algo sobre una cantidad finita de cosas porque la misma idea de las fichas de dominó es aplicable; en este caso se suele llamar "inducción finita", y es un caso particular de la inducción que se ha explicado arriba. Pueden, de manera similar, demostrarse afirmaciones del tipo "todos los números a partir del 8 cumplen tal cosa", y éstos son sólo ejemplos simples. El método de inducción es a la vez muy potente y muy intuitivo, y puede aplicarse en una gran variedad de problemas.

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