El agujero

Respuesta a "La Prueba del Nueve"

Gracias a Óscar Zunzarren, Federico Zapata, Nicolás Cianci, Héctor Pasten (Chile), Gabriel Gálvez, Miquel Capó Dolz (Ciutadella de Menorca, en las Baleares), Manuel Bernal (Galway, Irlanda), Miguel Rodríguez y a todos los que habéis enviado respuestas a este problema.

Como habréis notado, cualquier solución deja claro el por qué del nombre de la prueba. Ésta es la respuesta de Óscar Zunzarren:

Primero debemos fijarnos en una particularidad de los múltiplos de 9: sus cifras siempre suman 9 o un múltiplo de 9, de forma que si volvemos a sumar las cifras de la suma y repetimos el proceso alguna vez se obtiene 9. Por ejemplo, 7.364.556 es múltiplo de 9 y 7+3+6+4+5+5+6=36, 3+6=9.

Para los que no lo son, al reducirlos de igual forma a un número de una sola cifra obtenemos el resto de dividirlos entre 9. Por ejemplo, 64.735= (7.192 x 9)+7, y 6+4+7+3+5=25, 2+5=7.

En una división sabemos que dividendo= divisor x cociente; ésta es la prueba real para comprobar si está bien la operación.

Si en una división expresamos el divisor como un múltiplo de 9 (llamémosle D) más un resto R y cociente como otro múltiplo de 9 (C) más otro resto S:

divisor = D+R cociente = C+S,

al multiplicarlos obtendremos la siguiente expresión:

DxC + DxS + RxC + RxS.

Si reducimos esta expresión a una sola cifra como hemos explicado anteriormente, obtendremos el resto de dividirla por nueve (o nueve si es divisible por nueve); como tanto DxC como DxS y RxC son múltiplos de nueve, bastará con reducir a una sola cifra RxS y el resultado que obtengamos deberá ser igual a la reducción a una sola cifra del dividendo.

Esto no significa que la prueba del nueve sea infalible: basta alterar el orden de dos cifras en el ejemplo del enunciado para comprobar que aunque la prueba nos indica que la operación es correcta en realidad no lo es: ¿8.058 : 34 = 273?

Sin embargo, si la prueba no se cumple sí podemos afirmar que nos hemos equivocado en la operación.

En cuanto a una división con resto, basta reducir éste a una cifra, sumarlo al producto reducido del cociente por el divisor y comparar esta suma con el dividendo reducido:

8.060 = (34 x 237) + 2
8+0+6+0 = 14, 1+4 = 5
3+4 = 7
2+3+7 = 12, 1+2 = 3
7x3 = 21, 2+1 = 3
3+2 = 5

He elegido esta respuesta porque me parece clara y simple, y porque no requiere ningún conocimiento especial de matemáticas. Sin embargo, ¿cómo sabemos que al sumar las cifras de un múltiplo de nueve se obtiene un múltiplo de nueve? ¿Y cómo sabemos que sumando las cifras de otros números repetidamente finalmente se obtiene el resto de dividirlos por nueve? Uno puede convencerse de esto probando aquí y allá y viendo qué ocurre con las cifras de un número al sumar nueve: 36, 45, 54, 63, 72... ¿véis alguna regularidad?. El que esto pase siempre parece casi mágico. ¿Es una casualidad? ¿Es parte de algún principio más general?

Una forma de entender por qué ocurre lo anterior y por qué funciona la prueba del nueve es usar el concepto que en matemáticas se conoce como congruencia, como ahora explicaremos. Sólo entonces se nota cierta estructura general que resulta muy útil en una gran cantidad de problemas. Si ya sabes lo que son las congruencias, puedes leer directamente la respuesta de Federico Zapata más abajo, o la de Pedro Rupin (PDF), completa y más técnica.

Congruencias de números enteros

Tomemos el siete, por ejemplo. Si digo que un número es congruente con otro módulo siete, lo que quiero decir es que los dos números dan el mismo resto al dividirlos por siete: 12 es congruente con 26 módulo 7 porque tanto 12 como 26 dan de resto 5 al dividirlos por 7; pero 9 no es congruente con 35 módulo 7. La definición análoga vale para otros números que no sean el siete, claro (he cogido el siete simplemente para poner ejemplos concretos). Dado cualquier número, los números que son congruentes con él módulo siete van "de siete en siete": 5, 12, 19, 26, 33... son todos congruentes módulo siete.

La gracia de esto es que uno puede hacer sumas, restas y multiplicaciones "módulo algo". La idea fundamental es que

Si a es congruente con A módulo M y b es congruente con B módulo M, entonces

  1. a+b es congruente con A+B módulo M
  2. a-b es congruente con A-B módulo M
  3. a x b es congruente con A x B módulo M.

(No vamos a demostrar esto aquí, pero si queréis pensarlo, el razonamiento en la respuesta de Óscar Zunzarren puede daros alguna pista). ¿Qué queríamos decir con lo de "hacer cuentas módulo 7"? Supongamos que tenemos dos números a, b, y que por algún motivo lo que nos interesa es saber el resto de a+b al dividirlo por 7. Usando lo anterior sabemos que en lugar de a y b podemos poner dos números A, B congruentes con a, b módulo 7, respectivamente, y entonces calcular el resto de A+B al dividirlo por siete. ¡La respuesta debe ser la misma tal como dice 1)!. Claro, esto nos permite cambiar a y b por números mucho más sencillos. De la misma forma, las afirmaciones 1), 2) y 3) juntas nos dicen que podemos hacer el mismo tipo de simplificación en cualquier cuenta siempre que ésta incluya sólo sumas, restas y multiplicaciones, y siempre suponiendo que al final sólo nos interesa el resto de dividir el resultado por cierto número.

Volviendo a la prueba del nueve, supongamos que para comprobar una división no tenemos ganas de multiplicar divisor (d) por cociente (c) porque son números grandes; ya que no vamos a comprobarla del todo, al menos podemos ver si d x c da el mismo resto al dividir por cierto número (pongamos M) que el dividendo (deberían, ya que esperamos que sean iguales). 3) nos dice que para hacer eso nos vale con usar números congruentes con d y c módulo M en lugar de los propios d y c. También podemos usar cualquier otro número congruente módulo M con el dividendo, ya que el resto es el mismo (es el significado de ser congruente módulo M).

Entonces es cuando viene al pelo la curiosa propiedad de la que hablábamos antes:

Si sumamos las cifras de un número, y luego sumamos las cifras del resultado, y así sucesivamente, siempre obtenemos números congruentes con el primero módulo nueve.

(Ahora veremos por qué esto es cierto). Así que hacer la prueba anterior módulo nueve es especialmente fácil, porque calcular números bajos congruentes módulo nueve con un cierto número es muy fácil: sólo suma sus cifras. Ahora vemos que la prueba del nueve comprueba justamente esto: que divisor por cociente da el mismo resto por nueve que el dividendo. Claramente, esto no basta para que la división sea correcta (aunque si esto falla no puede serlo, como dijimos). Visto así queda patente que la prueba detecta divisiones incorrectas, digamos, "ocho veces de cada nueve", porque hay más o menos una posibilidad de nueve de que un resultado incorrecto tenga casualmente el mismo resto por nueve que el resultado correcto.

¿Por qué al sumar las cifras de un número se obtiene un número congruente módulo nueve con el primero? ¿Qué característica especial tiene el nueve?. Veamos la respuesta de Federico Zapata:

Vamos por pasos. En el caso de las divisiones exactas se verifica que D=d·c (Dividendo=divisor x cociente). Basándonos en las propiedades de las congruencias podemos tomar congruencias módulo 9. Así D será congruente a d·c módulo 9. Ahora bien, sabemos que 10 es congruente con 1 módulo 9. Escribiendo cualquier número de la forma a + b·10 + c·100 + d·1000 +... y tomando congruencias módulo 9 tenemos que todo número es congruente módulo nueve a la suma de sus cifras. Por tanto, la suma de las cifras de D será congruente al producto de las suma de las cifras de d por la suma de las cifras de c. Volvemos a tener otra congruencia de números, a la cual le aplicamos lo mismo. De esta forma seguimos hasta que nos queden números de una sola cifra que si son congruentes módulo 9 es porque son iguales, debido a que hemos de excluir el caso de que alguna de las sumas sea cero. Esto prueba la condición necesaria.

En el caso que el resto no sea cero, la prueba vale sumando al producto de la suma de las cifras de c por la suma de las cifras de d la suma de las cifras del resto, lo cual se demuestra de forma similar.

Lamentablemente la condición no es suficiente. Esto se debe a que si tenemos dos cocientes que son congruentes módulo 9 la congruencia se seguiría manteniendo y la condición se cumpliría. Se verá más claro con un ejemplo. El resultado de 585 entre 45 es 13 y resto cero. Si nos hubiera salido de cociente 22 (que es congruente con 13 módulo 9), veamos que ocurre:

para el dividendo: 5+8+5 = 18; 1+8 = 9
para el divisor: 4+5 = 9
para el cociente falso: 2+2 = 4. Multiplicándolos tendríamos 9·4 =36 y 3+6 = 9, con lo cual la prueba da positivo estando mal la división.

Espero que las explicaciones estén suficientemente claras. Un saludo a todos.

Esto es algo muy curioso. Lo que ocurre es que escribir un número como hacemos normalmente en base diez es ponerlo como se dice en la respuesta anterior; por ejemplo, si el número es de tres cifras, cba,

cba = a + b·10 + c·100.

Para calcular el resto por nueve de este número podemos calcular el resto por nueve de la expresión de la derecha sustituyendo si queremos cualquiera de los números por otro número congruente con él módulo nueve. ¡La propiedad especial que tiene el nueve es que... 10, 100, 1000,... son congruentes con 1 módulo 9! Entonces, podemos sustituir 10, 100 por 1 en la expresión anterior y luego calcular el resto por nueve. ¡Pero eso no es más que sumar las cifras del número!

Otras aplicaciones

Aunque podemos explicar la prueba del nueve sin usarlas, las congruencias dan una forma muy natural de entenderla. Además, el trabajo de conocerlas merece la pena porque contienen un principio fundamental que aparece en multitud de problemas relacionados con números enteros, y que puede generalizarse a gran número de situaciones más abstractas que se dan en casi todos los campos de las matemáticas.

Como muestra, las congruencias nos permiten entender de dónde han salido todas esas formas de comprobar si un número es divisible por tres, por cuatro, por cinco... Normalmente se enseña que para comprobar si un número es divisible por tres, se suman sus cifras y se mira si el resultado es divisible por tres. ¿Por qué funciona esta prueba? Seguramente estáis ya adelantando el mismo razonamiento de antes (cuando pusimos cba=a + b·10 + c·100), esta vez para el tres: 10, 100, 1000... son todos congruentes con 1 módulo 3, así que para calcular números que dan el mismo resto que otro módulo tres basta sumar las cifras como antes (la prueba del nueve podría ser la "prueba del tres" si contásemos en base cuatro). Si un número es divisible por tres, la suma de sus cifras lo será, y al revés.

¿Y la prueba de la división por 4? Ocurre que un número es divisible por cuatro si sus dos últimas cifras lo son. ¿Por qué? 10 es 2 módulo 4, pero 100, 1000, 10000... ¡son todos 0 módulo 4!. Así que al hacer la suma como antes sólo quedan las dos últimas cifras...

¿Hay alguna forma fácil para ver si un número es divisible por siete? Veamos qué pasa con la misma idea...
10 es 3 módulo 7
100 es 2 módulo 7
1000 es 6 módulo 7
10000 es 4 módulo 7
100000 es 5 módulo 7
1000000 es 1 módulo 7
10000000 es 3 módulo 7
y a partir de aquí se repiten. Con el método anterior no parece fácil conseguir una prueba para la división por siete... ¿conoces alguna?.

En una página de internet dedicada a trucos propios de varias profesiones leo una técnica que puede resultar útil a los contables: supongamos que tenemos dos columnas de números que sumar y esperamos que el resultado sea el mismo (tal vez al cuadrar las cuentas del día). Si obtenemos dos resultados diferentes, podemos comprobar si su diferencia es múltiplo de nueve; si lo es, eso sugiere que es probable que hayamos intercambiado las cifras de algún número en una de las columnas, por ejemplo al introducirlo en una calculadora, un error muy común. El motivo es sencillo si uno tiene en cuenta la explicación anterior.

Por último, propiedades curiosas de los números frecuentemente encuentran un lugar en algún truco de magia. Uno de los siguientes juegos de esta sección trata sobre esto.

Miguel Rodríguez observa que en el número de Julio de 2004 de Investigación y Ciencia se publicó un artículo escrito por Michel Ballieu sobre la prueba del nueve. En él podéis leer una explicación de la misma y un resumen de su historia. Manuel Bernal dice que esta prueba se menciona en "A short account of the history of mathematics", de W.W.R. Ball, página 160, donde se dice que un tal Alhossein, matemático Árabe del siglo XI, ya usaba el mismo principio para comprobar sumas y productos (aunque la prueba es más antigua: en el artículo de Michel Ballieu se reproduce un fragmento de un texto de al-Khwarizmi del siglo IX donde se explica cómo realizarla).

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