Torsores
Todo lo que usted siempre quiso saber y nunca se atrevió a preguntar...
AVISO: Esta historia trata de matemáticas. No, no es broma. Esta vez va en serio, hoy voy a hablar de matemáticas de verdad. Si eres de los que vienen aquí buscando desvaríos divertidos no sigas leyendo. Hay una gran probabilidad de que lo que sigue te resulte un tostón insufrible. El que avisa no es traidor.
Dicho lo dicho, queridos BKrios y lectores varios, me dispongo hoy a contaros algo acerca de un curioso concepto con el que me he tropezado recientemente en un artículo. Se trata del concepto de torsor. Al autor de esta cosa que me estoy leyendo le parece lo más natural del mundo soltar algo como "...y vemos claramente que este conjunto es un [tex]G-[/tex]torsor..." sin haber mencionado antes el dichoso palabro. Así que me ha entrado la curiosidad y he estado indagando a ver que quieren decir nuestros amigos los físicos cuando hablan de torsores...
La mejor respuesta la he encontrado, por supuesto, en Internet. Concretamente, en la página de John Baez (que, efectivamente, es pariente de la famosa cantante Joan Baez) hay una excelente introducción al concepto de torsor. Casi todo lo que sigue es una traducción o interpretación de lo que ha escrito este hombre, así que si ya te has leído lo que el ha escrito, probablemente aquí no encuentres nada nuevo.
Comencemos hablando de algunas situaciones más o menos comunes en física,
- En Mecánica Clásica, es bien conocida la técnica de medir Energías para estudiar diversos sistemas. Sin embargo, podemos añadir cualquier número real a nuestra definición de energía sin que cambie para nada nuestro estudio. Dicho de otra forma, el concepto de energía de un estado de un sistema no está canónicamente definido. En un sentido estricto, lo único que de verdad nos interesa son las diferencias de energía entre dos estados del mismo sistema. Por supuesto, y habitualmente lo hacemos, elegir un estado arbitrario, y acordar que dicho estado representa nuestra "energía 0", hecho lo cual podemos definir la energía de un estado como la diferencia entre la energía de dicho estado y la de nuestro "estado de energía 0". Esto es perfectamente correcto, pero no olvidemos que cualquier elección del "estado de energía 0" es arbitraria. No existe ningún fundamento físico que nos de una prioridad clara a la hora de elegir dicho estado. Lo que sí podemos decir, sin necesidad de ninguna elección arbitraria, es que la diferencia de energía entre dos estados de un sistema es un número real. Otra forma de decir esto es decir que el conjunto de energías de los estados de un sistema constituye un [tex]\mathbb{R}-[/tex]torsor.
- En Mecánica Cuántica, no tiene mucho sentido hablar de la fase de un estado cuántico, sino tan solo de su fase relativa. De nuevo, esto ocurre porque si multiplicamos la fase de un estado cuántico por cualquier número complejo de módulo 1, ninguna de las propiedades físiscas de nuestro sistema varía. Con más propiedad, el conjunto de fases de los estados cuánticos de un sistema tiene estructura de [tex]U(1)-[/tex]torsor.
Vale, vale, ya paro con los ejemplos físicos. ¿Qué pasa con las mátemáticas? Pues también nos encontramos con este tipo de situación. Imaginemos por ejemplo que dada una función real de variable real, $[tex]f(x)[/tex], queremos estudiar el conjunto de sus primitivas. Con todo rigor, no podemos hablar de la primitiva de una función. Al resolver este problema clásico, lo más habitual es usar el Teorema Fundamental del Cálculo, y decir que las primitivas tienen la forma [tex]F(x)=\int_{a}^x f(t)dt + C[/tex], donde [tex]C[/tex] es una constante real. Esto significa que, dada una primitiva de [tex]f[/tex], podemos añadirle cualquier número real y seguimos obteniendo una primitiva de [tex]f[/tex]. Dicho de otra forma, la diferencia entre dos primitivas de [tex]f[/tex] es un número real, o lo que es lo mismo, el conjunto de primitivas de [tex]f[/tex] tiene estructura de [tex]\mathbb{R}-[/tex]torsor.
En este momento la mayoría de vosotros estaréis protestando, diciendo que me estoy quedando con vosotros y que todo el mundo sabe que de lo que tiene estructura este conjunto es de espacio afín sobre el espacio vectorial de los números reales. Esto es cierto. De hecho, si tenemos un espacio afín [tex]\mathbb{A}[/tex] sobre un espacio vectorial [tex]V[/tex], todos sabemos que no tiene sentido hablar de la suma de dos elementos de [tex]\mathbb{A}[/tex], mientras que es perfectamente natural considerar un elemento de [tex]\mathbb{A}[/tex] y sumarle un elemento de [tex]V[/tex]. O dicho de otra forma, podemos considerar la diferencia de dos elementos de [tex]\mathbb{A}[/tex], obteniendo un elemento de [tex]V[/tex] perfectamente definido. Algo así como "el vector que determinan dos puntos del plano". Como veremos en seguida, esto significa que el espacio afín [tex]\mathbb{A}[/tex] tiene estructura de [tex]V-[/tex]torsor.
Creo que ya tenemos bastante motivación y estamos listos para dar algunas definiciones serias.
Consideremos un grupo [tex]G[/tex], no necesariamente abeliano, actuando sobre un conjunto [tex]X[/tex]. Recordemos que una acción de [tex]G[/tex] sobre [tex]X[/tex] es una aplicación
- [tex]\lambda(1_G,x)=x[/tex] para todo [tex]x\in X[/tex].
- [tex]\lambda(gh,x)=\lambda(g,\lambda(h,x))[/tex] para todos [tex]g,h\in G,\ x\in X[/tex].
Observemos que estamos empleando notación multiplicativa para referirnos al grupo [tex]G[/tex]. Habitualmente, se suele escribir [tex]g x:=\lambda(g,x)[/tex]. Podemos decir que una acción de [tex]G[/tex] sobre [tex]X[/tex] es una forma de considerar los elementos de [tex]G[/tex] como transformaciones del conjunto [tex]X[/tex]. El la wikipedia podéis encontrar un resumen de las principales propiedades de las acciones de grupos sobre conjuntos.
Si nuestra acción verifica que para cualquier pareja de elementos [tex]x,y\in X[/tex] existe un [tex]g\in G[/tex] tal que [tex]gx=y[/tex], esto es, si para cada pareja de elementos del conjunto tenemos un elemento del grupo que transforma el primero en el segundo, entonces se dice que la acción del grupo es transitiva. Si además se verifica que para cualesquiera [tex]g,h\in G[/tex] distintos existe un elemento [tex]x\in X[/tex] tal que [tex]gx\neq hx[/tex], esto es, si dos elementos diferentes del grupo representan transformaciones diferentes del conjunto, entonces se dice que la acción de [tex]G[/tex] sobre [tex]X[/tex] es fiel. Cuando tenemos una acción de un grupo [tex]G[/tex] sobre un conjunto [tex]X[/tex] que es a la vez transitiva y fiel, entonces decimos que el conjunto [tex]X[/tex] tiene estructura de [tex]G-[/tex]torsor.
Si revisamos las condiciones de transitividad y fidelidad, podemos observar que ambas condiciones juntas equivalen al hecho de que para cualesquiera [tex]x,y\in X[/tex] existe un único elemento [tex]g\in G[/tex] en el grupo para el que se verifica que [tex]gx=y[/tex]. Esta propiedad hace que podamos definir una especie de "cociente" entre los elementos del conjunto [tex]X[/tex], definiendo [tex]x/y[/tex] como el único elemento [tex]g\in G[/tex] para el cual se tiene que [tex]gx=y[/tex]. Dicho de otra forma, en un torsor podemos definir un cociente de elementos (o una diferencia, si empleamos para nuestro grupo notación aditiva) cuyo resultado no es un elemento del torsor, sino del grupo que le da la estructura. Exactamente lo que ocurre cuando consideramos la "diferencia" entre dos puntos del plano, cuyo resultado es un vector (recordemos que todo espacio vectorial es un grupo abeliano). Ahora vemos claro que todo espacio afín no es sino un torsor sobre el espacio vectorial subyacente. Siendo más acordes con la historia y evolución de las cosas, podríamos decir que el concepto de torsor es una generalización del concepto de espacio afín, obtenida al reemplazar el espacio vectorial subyacente por un grupo cualquiera.
Cualquiera que se decida a hacer un par de cuentas puede comprobar que si tenemos un torsor [tex]X[/tex], este es, como conjunto, biyectivo con el grupo [tex]G[/tex]. Entonces, ¿no podríamos identificar al torsor con el grupo? La respuesta es sí, pero no. Sí, porque, al ser biyectivos, basta fijar un elemento del torsor, al que identificamos con el elemento neutro del grupo, y obtenemos una correspondencia perfecta entre los dos objetos. Pero no, porque dicha identificación no es canónica, sino que depende de la elección arbitraria de un elemento del torsor como elemento distinguido.
Hay muchos más ejemplos interesantes de torsores. En física, profundizar en este concepto nos lleva a la rama conocida como "Teoría de Gauge". En Geometría Diferencial, si consideramos un [tex]G-[/tex]fibrado principal, cada fibra es isomorfa al grupo [tex]G[/tex], pero no de forma canónica... ¡es un [tex]G-[/tex]torsor! Ejemplos más concretos de este caso los encontramos en el fibrado de referencias ortonormales y el fibrado de espinores sobre una variedad Riemanniana (espinorial), pero esto es otra historia, y será contada en otra ocasión.
vengoroso - Algo de ciencia
dos comentarios:
Me ha gustado el post, hombre. Está bien esto de introducir a la gente en temas como estos, aunque sé que es posible que tambien nuestros visitantes se vean abrumados ante la apariencia de la entrada (como a mi me ocurrió, lo confieso…). De cualquier forma, siempre es positiva la divulgación de conceptos matemáticos.
delpitapitadel - 18 02 06 - 12:10
Your pictures are great.
toni (URL) - 14 03 06 - 08:00
Un trackback:
Convenciones sociales y Teoría de Juegos
Tod un espaldarazo para los que promulgamos la utilidad subyacente a las matemáticas. Para más INRI, no se trata esta vez de una aplicación abstrusa en física teórica, computación cuántica, optimización en el diseño de circuitos ni nada por el estilo, en e…
Enviado el 07 12 06 - 18:17 , via BK-2
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