BK2

Aunque pueda parecer irrelevante, el hecho de dejar levantada o no la tapa del inodoro genera fuertes reacciones emocionales en las partes implicadas. Sin embargo, los estudios científicos a este erspecto son prácticamente inexistentes. En algunos trabajos, se ha estudiado esta situación modelizándola como si fuese un juego cooperativo, mientras que en otros se ignora por completo la naturaleza conflictiva de las decisones a tomar. En este trabajo se tiene esto en cuenta, y se añade un factor más: si una mujer se encuentra la tapa del inodoro levantada cuando tenga que usarlo, con toda seguridad le gritará al hombre implicado. Esta regañina debe ser tomada en cuenta en nuestro análisis en la forma de una ganancia negativa para el varón. Por tanto, proponemos estudiar el conflicto de la tapa del inodoro mediante un modelo que implique un juego no cooperativo entre dos especies: hombres y mujeres.

La estructura de nuestro juego
Por simplificar, supondremos que en nuestro juego intervienen dos jugadores, John, como representante de la especie de los hombres, y Marsha, como representante de las mujeres. Inicialmente, viven por separado, teniendo cada uno de ellos acceso exclusivo a su propio inodoro, cuya tapa puede encontrarse en las posiciones arriba o abajo, y que pueden utilizar con dos fines distintos, que denotaremos respectivamente por y . Asumiremos que John realiza la operación con la tapa en la posición arriba y la operación con la tapa en la posición abajo, mientras que Marsha eraliza ambas operaciones con la tapa en la posición abajo. Esto significa que John, antes de llevar a cabo la operación correspondiente, debe colocar la tapa en la posición apropiada (NB: Por simplificar, asumimos que no es posible efectuar el cambio de posición mientras se efectúa la operación. Incluso si esto fuera posible, no lo consideramos para nada recomendable). Llamemos al coste que mide la inconveniencia de tener que efectuar un cambio en la posición de la tapa, y sea la probabilidad con la que se efectúa la operación . (NB: Por simplificar, asumiremos que el valor de es idéntico para John y Marsha, si bien nuestra técnica puede ser fácilmente generalizada a la asignación de valores de probabilidad diferentes).

Las situaciones que suponen un coste para John son:

• Efectuar si la última vez se efectuó . Esta situación ocurre con una probabilidad , con un coste
• Efectuar si la última vez se efectuó . Para esta situación la probabilidad es con coste de nuevo

Así pues, el coste esperado para John es


Para Marsha, en cambio, el coste esperado es nulo, ya que ella efectúa todas las operaciones con la tapa en la posición abajo.

En la siguiente fase del juego, John y Marsha deciden cohabitar y usar el mismo inodoro (algunos llaman a esta confusa situación matrimonio). La consecuencia inmediata de este cambio en el juego es que ambas partes se ven perjudicadas al tener que realizar más cambios en la posición de la tapa. John propone la estrategia "¿Qué importa si está arriba o abajo? ¡Dejemos siempre la tapa en la última posición en la que se utilizara!", a la que Marsha responde con la estrtegia "Dejarás la tapa abajo, o si no..." (que alternativamente puede ser sustituída por la estrategia debilitada "Si me quieres, dejarás la tapa bajada"). Denominaremos a la estrategia propuesta por John y a la réplica propuesta por Marsha. De nuevo por simplificar, asumiremos que John y Marsha usan el baño con frecuencia . (NB: En lo que utilizar el inodoro se refiere, ya que otras labores como de aseo personal, maquillaje, etc no incurren en costes significativos para el problema del inodoro.).

Ahora, si John sigue la estrategia hay tres situaciones que le implican un coste:

• El último usuario fue Marsha, y John quiere efectuar . Coste , con probabilidad
• John quiere efectuar [renderlatex: 1], y el último usuario fue John efectuando . Coste , con probabilidad
• John quiere efectuar , y el último usuario fue John efectuando . Coste , con probabilidad

Por lo que el coste esperado para John, con esta estrategia, es

Mientras que para Marsha, la estrategia significa una sitaución de coste, en concreto si el último usuario fue John, efectuando . Esta situación conlleva un coste , con una probabilidad , que nos da un coste esperado de para Marsha. Así pues, los costes marginales (diferencia entre el coste esperado en la fase de soltería y la de matrimonio) de la estrategia son:

• Para John: .
• Para Marsha:

Si se sigue la estrategia , John incurre en un coste siempre que quiera efectuar (el coste en esta ocasión no es porque debe efetuar dos cambios, uno antes de llevar a cabo y otro al concluir), hecho que ocurre con probabilidad , lo que nos da un coste esperado de . Para Marsha, evidentemente, esta estrategia tiene coste 0. Los costes marginales asociados a la estrategia son:

• Para John:
• Para Marsha:

Aquí es donde en vez de interpretar la situación como un juego cooperativo, donde los dos jugadores siguen la misma estrategia, la consideramos un juego no cooperativo, donde cada uno de los dos jugadores puede elegir su propia estrategia. Supondremos además que si Marsha está siguiendo la estrategia y se encuentra la tapa en la posición arriba, empezará a gritarle a John, inflingiéndole un coste . Esto sólo ocurre si John sigue la estrategia , en el caso en el que John fuera el último usuario, y hubiera efectuado , lo cual tiene una probabilidad . Evidentemente, si no es muy superior a , es irrelevante para el desarrollo del juego, que se puede seguir considerando un juego cooperativo, por lo que supondremos que , esto es, que la molestia que a John le ocasiona recibir la bronca de Marsha es mucho mayor que la de bajar la tapa. Para esta situación nos encontramos con la siguiente matriz de pagos (donde el pago debe entenderse como un coste, con lo que y deberían tener signo negativo):

Dicha matriz (donde las estrategias de John se situan por filas y las de Marsha por columnas) tiene dos puntos de equilibrio de Nash, correspondientes a los pares de estrategias y . Un estudio detallado de estos puntos de equilibrio nos muestra dos cosas:

1. Que el punto de equilibrio no es estable bajo cambios de estrategia accidentales (NB: O como quiera que se traduzca "trembling hand perfect"), mientras que el punto sí lo es.
2. Que el punto de equilibrio es ineficiente comparado con el punto

De aquí cada uno puede sacar sus propias conclusiones. Para los hombres, la conclusión obvia es que seguir la convención social de dejar la tapa siempre bajada no es conveniente desde el punto de vista del bien común (o de minimizar el coste global), lo cual nos sirve de venganza contra todas las veces que nos hayan gritado por habernos olvidado. Las mujeres tienen el consuelo de que, al ser el punto el único estable, no hay muchas posibilidades de que esta convención social vaya a cambiar en el futuro.