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Convenciones sociales y Teoría de Juegos

Un acercamiento matemático a los problemas de la cotidianeidad

Tod un espaldarazo para los que promulgamos la utilidad subyacente a las matemáticas. Para más INRI, no se trata esta vez de una aplicación abstrusa en física teórica, computación cuántica, optimización en el diseño de circuitos ni nada por el estilo, en esta ocasión se trata de una aplicación utilizable en nuestra vida diaria...

Saludos, BK2 y BKdas y lectores varios, soy vengoroso. Tal vez me recuerden de otras interesantes disertaciones científicas como Torsores, todo lo que siempre quiso saber y nunca se atrevió a preguntar o Negro como tu corazón. Dentro de nuestro programa de culturización científica de la plebe, y haciendo un derroche de productividad en medio de un puente, les traigo hoy a todos ustedes un artículo calentito calentito, recién sacadito del horno. Y les prometo que esta vez, de verdad, podrán aplicarlo en su vida diaria...

Desde que el señor John Forbes Nash desarrollara su teoría del equilibrio para juegos no cooperativos, se le han encontrado a esta numerosas aplicaciones dentro de campos tan variados como la biología evolutiva, las relaciones laborales, o la macroeconomía. Dado que esta es una de las teorías matemáticas más citadas cuando nos preguntan por la utilidad real de nuestra disciplina, cabe preguntarse si admite aplicaciones más prosaicas...

La respuesta, por supuesto, es que sí. A través de nuestro amigo Walt, de Ars mathematica, he descubierto el maravillos artículo The social norm of leaving the toilet seat down: A game theoretic analysis, donde Hammad Siddiqi hace un estudio acerca de las formas de dejar la tapa del inodoro desde el punto de vista de las convenciones sociales y la teoría de juegos. Paso a resumir los que a mi me parecen los puntos fundamentales del artículo (por si alguno no puede acceder al servidor de preprints de la Universidad de Munich, os dejo una copia local aquí)

Aunque pueda parecer irrelevante, el hecho de dejar levantada o no la tapa del inodoro genera fuertes reacciones emocionales en las partes implicadas. Sin embargo, los estudios científicos a este erspecto son prácticamente inexistentes. En algunos trabajos, se ha estudiado esta situación modelizándola como si fuese un juego cooperativo, mientras que en otros se ignora por completo la naturaleza conflictiva de las decisones a tomar. En este trabajo se tiene esto en cuenta, y se añade un factor más: si una mujer se encuentra la tapa del inodoro levantada cuando tenga que usarlo, con toda seguridad le gritará al hombre implicado. Esta regañina debe ser tomada en cuenta en nuestro análisis en la forma de una ganancia negativa para el varón. Por tanto, proponemos estudiar el conflicto de la tapa del inodoro mediante un modelo que implique un juego no cooperativo entre dos especies: hombres y mujeres.

La estructura de nuestro juego
Por simplificar, supondremos que en nuestro juego intervienen dos jugadores, John, como representante de la especie de los hombres, y Marsha, como representante de las mujeres. Inicialmente, viven por separado, teniendo cada uno de ellos acceso exclusivo a su propio inodoro, cuya tapa puede encontrarse en las posiciones arriba o abajo, y que pueden utilizar con dos fines distintos, que denotaremos respectivamente por y . Asumiremos que John realiza la operación con la tapa en la posición arriba y la operación con la tapa en la posición abajo, mientras que Marsha eraliza ambas operaciones con la tapa en la posición abajo. Esto significa que John, antes de llevar a cabo la operación correspondiente, debe colocar la tapa en la posición apropiada (NB: Por simplificar, asumimos que no es posible efectuar el cambio de posición mientras se efectúa la operación. Incluso si esto fuera posible, no lo consideramos para nada recomendable). Llamemos al coste que mide la inconveniencia de tener que efectuar un cambio en la posición de la tapa, y sea la probabilidad con la que se efectúa la operación . (NB: Por simplificar, asumiremos que el valor de es idéntico para John y Marsha, si bien nuestra técnica puede ser fácilmente generalizada a la asignación de valores de probabilidad diferentes).

Las situaciones que suponen un coste para John son:
  • Efectuar si la última vez se efectuó . Esta situación ocurre con una probabilidad , con un coste
  • Efectuar si la última vez se efectuó . Para esta situación la probabilidad es con coste de nuevo
Así pues, el coste esperado para John es


Para Marsha, en cambio, el coste esperado es nulo, ya que ella efectúa todas las operaciones con la tapa en la posición abajo.

En la siguiente fase del juego, John y Marsha deciden cohabitar y usar el mismo inodoro (algunos llaman a esta confusa situación matrimonio). La consecuencia inmediata de este cambio en el juego es que ambas partes se ven perjudicadas al tener que realizar más cambios en la posición de la tapa. John propone la estrategia "¿Qué importa si está arriba o abajo? ¡Dejemos siempre la tapa en la última posición en la que se utilizara!", a la que Marsha responde con la estrtegia "Dejarás la tapa abajo, o si no..." (que alternativamente puede ser sustituída por la estrategia debilitada "Si me quieres, dejarás la tapa bajada"). Denominaremos a la estrategia propuesta por John y a la réplica propuesta por Marsha. De nuevo por simplificar, asumiremos que John y Marsha usan el baño con frecuencia . (NB: En lo que utilizar el inodoro se refiere, ya que otras labores como de aseo personal, maquillaje, etc no incurren en costes significativos para el problema del inodoro.).

Ahora, si John sigue la estrategia hay tres situaciones que le implican un coste:
  • El último usuario fue Marsha, y John quiere efectuar . Coste , con probabilidad
  • John quiere efectuar [renderlatex: 1], y el último usuario fue John efectuando . Coste , con probabilidad
  • John quiere efectuar , y el último usuario fue John efectuando . Coste , con probabilidad
Por lo que el coste esperado para John, con esta estrategia, es

Mientras que para Marsha, la estrategia significa una sitaución de coste, en concreto si el último usuario fue John, efectuando . Esta situación conlleva un coste , con una probabilidad , que nos da un coste esperado de para Marsha. Así pues, los costes marginales (diferencia entre el coste esperado en la fase de soltería y la de matrimonio) de la estrategia son:
  • Para John: .
  • Para Marsha:
Si se sigue la estrategia , John incurre en un coste siempre que quiera efectuar (el coste en esta ocasión no es porque debe efetuar dos cambios, uno antes de llevar a cabo y otro al concluir), hecho que ocurre con probabilidad , lo que nos da un coste esperado de . Para Marsha, evidentemente, esta estrategia tiene coste 0. Los costes marginales asociados a la estrategia son:
  • Para John:
  • Para Marsha:
Aquí es donde en vez de interpretar la situación como un juego cooperativo, donde los dos jugadores siguen la misma estrategia, la consideramos un juego no cooperativo, donde cada uno de los dos jugadores puede elegir su propia estrategia. Supondremos además que si Marsha está siguiendo la estrategia y se encuentra la tapa en la posición arriba, empezará a gritarle a John, inflingiéndole un coste . Esto sólo ocurre si John sigue la estrategia , en el caso en el que John fuera el último usuario, y hubiera efectuado , lo cual tiene una probabilidad . Evidentemente, si no es muy superior a , es irrelevante para el desarrollo del juego, que se puede seguir considerando un juego cooperativo, por lo que supondremos que , esto es, que la molestia que a John le ocasiona recibir la bronca de Marsha es mucho mayor que la de bajar la tapa. Para esta situación nos encontramos con la siguiente matriz de pagos (donde el pago debe entenderse como un coste, con lo que y deberían tener signo negativo):

matriz de pagos


Dicha matriz (donde las estrategias de John se situan por filas y las de Marsha por columnas) tiene dos puntos de equilibrio de Nash, correspondientes a los pares de estrategias y . Un estudio detallado de estos puntos de equilibrio nos muestra dos cosas:
  1. Que el punto de equilibrio no es estable bajo cambios de estrategia accidentales (NB: O como quiera que se traduzca "trembling hand perfect"), mientras que el punto sí lo es.
  2. Que el punto de equilibrio es ineficiente comparado con el punto
De aquí cada uno puede sacar sus propias conclusiones. Para los hombres, la conclusión obvia es que seguir la convención social de dejar la tapa siempre bajada no es conveniente desde el punto de vista del bien común (o de minimizar el coste global), lo cual nos sirve de venganza contra todas las veces que nos hayan gritado por habernos olvidado. Las mujeres tienen el consuelo de que, al ser el punto el único estable, no hay muchas posibilidades de que esta convención social vaya a cambiar en el futuro.

De manera más personal, las conclusión obvia a las que yo llego es que el matrimonio (o cualquier otra forma de vida en común que implique compartir el cuarto de baño) conduce a una pérdida de bienestar general por ambas partes. Claro está que esta pérdida de bienestar debería ponderarse contra la posible ganancia de despertarse con el aroma de un café recién hecho, pero eso es otra historia, y será contada en otra ocasión... ¡Que paséis un buen y largo fin de semana!

vengoroso - Algo de ciencia, Procrastin-X



cuatro comentarios:

Yo saco tres cosas de todo esto:

1) Efectivamente, creo se acabará imponiendo la estrategia (M,M), igual que se impuso la de dejar de darle un cachiporrazo y arrastrarla a la cueva.

2) Vengoroso, para que te hagan el café por las mañanas no hace falta casarse, mamá ha hecho el nesquick de toda la vida.

3) Para cuándo un retrete sin tapas que se autolimpie. Y ya puestos, que se autolimpie el cuarto de baño que es lo peor de to la casa.
Herr Spock (URL) - 08 12 06 - 10:52

Otra cosa:

4) Los alemanes no celebran el día de la Constitución Española, serán siesos.
Herr Spock (URL) - 08 12 06 - 10:53

Spock, da igual que la relación sea sentimental, de amistad, o de parentesco: cohabitar con cualquier fémina es equivalente a efectos del problema de la tapa del inodoro. Además, cohabitar con madre implica cohabitar con padre, con hermana pija médica, con abuela y con hermano adolescente. Demasiadas variables a tener en cuenta :-P
Respecto a 3, algunos retretes públicos lo hacen, pero el mecanismo de limpieza es quizás demasiado agresivo para un baño de uso personal… no sé, habrá que estudiarlo
vengoroso (URL) - 08 12 06 - 12:13

Vengoroso, estamos solos tú y yo, qué romántico, ¿hace un episodio de Bob Esponja?
Herr Spock - 08 12 06 - 18:18


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