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Geometría proyectiva finita

...si es que tal cosa existe...

Saludos, BK2 y BKdas y lectores varios. Sé que ando un poco perdido últimamente, pero es que por aquí en el exilio postdoc están pasando tantas cosas (tanto a nivel profesional como personal) que a uno duda entre dejar de hacer cosas para ponerse a contarlas o dejar de contarlas para seguir haciendo cosas. De momento he decidido seguir haciendo cosas, así que lo de hoy será sólo una nota acerca de una noción curiosa sobre la que he oído en el seminario de teoría de números, impartido por el mosquetero de las matemáticas, todo un personajillo que ronda por aquí, del cuál se cuenta que se apostó (y perdió) sin ningún pudor 2 botellas de vino de 700 dólares a que se encontraría un contraejemplo a la hipótesis de Riemann antes de que se calculasen los primeros 300 millones de ceros de la función , el hombre que dio una demostración en una linea de que todo primo que sea congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados... En fin, ¿qué puede esperarse de este duendecillo de la teoría de números, salvo un desvarío inversamente proporcional a su tamaño? Pues eso es lo que podrán ustedes ver si siguen leyendo...

La noción sobre la que trató el último seminario de Zagier fue la de planos proyectivos finitos. Para cualquier espacio vectorial , podemos considerar su proyectivización (o proyectivizado) como el conjunto de las direcciones de , que también podemos ver como el cociente de por la relación de equivalencia si, y sólo si, existe tal que . Por ejemplo, si consideramos el plano Euclídeo usual , su proyectivizado es lo que se conoce como la recta proyectiva, y viene a ser como una circunferencia en la que identificamos cada par de puntos diametralmente opuestos. Quizás el caso más estudiado (por lo menos por una que yo me sé :-P) es el del plano proyectivo , una superficie obtenida como proyectivización del espacio euclídeo usual, con la puñetera propiedad de ser compacta pero no orientable, y una de las piezas fundamentales en la clasificación de las superficies compactas (recordad aquel "cortar y pegar").

El plano proyectivo se usa también, de incógnito, para hacer muchas demostraciones de geometría afín. Puede que no os lo hayan contado nunca, pero si alguna vez habéis hecho una demostración de geometría afín pasando del plano al espacio mediante la aplicación , en realidad lo que estábais haciendo era embeber el plano afín en el proyectivo, donde las demostraciones son generalmente más sencillas (a causa de la compacidad).

En fin, volviendo al tema, que los espacios proyectivos se construyen a partir de cualquier espacio vectorial, así que se pueden construir "planos proyectivos" a partir de cualquier espacio vectorial de dimensión 3. Pero los espacios vectoriales no se limitan a los espacios reales y los complejos, sino que podemos poner cualquier cuerpo que nos apetezca. Si alguno está pensando en coger el cuerpo de los racionales, o cualquier extensión de Galois del mismo, sólo os diré que eso os lleva de cabeza a un campo conocido con el nombre de geometría aritmética, y que si queréis pelearos con ese tipo de estructuras por consideración no lo hagáis delante del insigne duplecillos el numídico ni de mi co-bkrio, que últimamente andan un poco mosqueaos por culpa de las puñeterías de los racionales y sus colegas.

Si no queremos racionales, ni reales, ni complejos, ni otros cuerpos numéricos en general, entonces, ¿qué nos queda? Pues esos misteriosos y a menudo tristemente olvidados objetos que son los cuerpos finitos. Asociado a cada potencia de un primo podemos siempre construir un cuerpo que tiene exactamente elementos. Construído el cuerpo, podemos formar sobre él espacios vectoriales de la dimensión que nos apetezca, por ejemplo 3, y a partir de estos espacios tridimensionales construír los planos proyectivos asociados . Como nuestros cuerpos son finitos, estos planos proyectivos también lo serán. De hecho, un poco de combinatoria nos permite comprobar fácilmente que tienen exactamente puntos. Una propiedad curiosa de estos planos proyectivos es que verifican el Teorema de Desargues. El enunciado preciso de este teorema no es relevante ahora, sólo diremos que el teorema tiene suficiente importancia como para que los planos proyectivos que acabamos de construir se denominen "planos de Desargues".

Si nos olvidamos ahora del proceso de construcción de estos planos, podemos abstraer la definición y quedarnos simplemente con sus propiedades geométricas, a partir de las cuales podemos tomar la siguiente definición:

Un plano proyectivo finito de orden , que denotaremos por , consiste en:

  • Un conjunto de puntos,
  • Un conjunto de "líneas",
  • Una relación de "pertenencia" entre los puntos y las lineas,

verificando las siguentes propiedades:

  1. Cada punto pertenece exactamente a líneas.
  2. Cada línea contiene exactamente puntos.
  3. Para cada par de puntos distintos, existe una única línea que los contiene a ambos.
  4. Para cada par de líneas distintas, existe un único punto que está contenido en ambas.
  5. Si , entonces existen 4 puntos con la propiedad de que ninguna línea contiene a tres de ellos simultaneamente.

Por supuesto, los planos proyectivos que hemos definido antes son ejemplos de esta estructura. No es difícil demostrar (aunque ahora no es tan inmediato como en el caso anterior) que todo plano proyectivo finito de orden debe tener exactamente puntos, y el mismo número de líneas. En el dibujo podéis ver un ejemplo de plano proyectivo finito de orden 2 (conocido como Plano de Fano) donde los puntos son los redondeles negros, y las lineas son los lados y medianas del triángulo, más la circunferencia.

No me voy a meter en detalles de por qué Zagier nos contó para qué eran interesantes los planos proyectivos finitos, pero para concluir os dejo puesta una cuestión abierta sobre la que nos habló. Hemos visto que tenemos ejemplos de planos proyectivos finitos de orden siempre que sea potencia de un primo (los planos de Desargues). Ahora bien, ¿existen planos proyectivos finitos cuyos órdenes no sean potencia de primos? Se ha logrado demostrar por combinatoria que dicha construcción es imposible en orden 6, y por fuerza muy bruta que no hay ejemplos de orden 10, pero ¿qué pasa con los restantes órdenes?

vengoroso - Algo de ciencia



113 comentarios:

Ej ingreíbele a lo que llegan estas generalizaciones… Cuando piensa uno en la idea de la geometría proyectiva, que inicialmente estaba en estudiar las proyecciones de las figuras sobre un plano (y por eso está relacionada con la perspectiva, ya que una foto o un dibujo son una proyección de las cosas en 2D), es difícil ver la relación con las generalizaciones de las que hablas… Y sin emabrgo, lo curioso es que al final resultan tener una estructura parecida, y la intuición que desarrolles sobre la geometría proyectiva corriente y moliente seguramente será de ayuda para esos objetos extraños que son los planos proyectivos finitos.

Muy chula la prueba de lo de la suma de cuadrados…
Corleone (URL) - 18 01 08 - 14:49

putos cuerpos finitos…¡qué ardan!
duplecillos el numídico - 20 01 08 - 02:05

Bueno, seriamente, me parece interesente esto. ¿Cómo es la demostración en una linea? hay que estar suscrito a JSTOR para verla
duplecillos el numídico - 20 01 08 - 02:18

¿Como? ¿¡que esa universidad vuestra no está suscrital al JSTOR!? si es que desde luego, vivís en un país tercermundista… :-P
La verdad es que la demostración (de hecho, el artículo completo) es lo bastante interesante como para dedicarle un post propio, así que no te preocupes, ahora mismo la cuelgo

Por cierto, volviendo al tema de los planos proyectivos finitos, he demostrado que todo plano proyectivo finito puede representarse como un subconjunto (sí, habéis oído bien, UN subconjunto, no uno de puntos y otro de líneas, sólo un subconjuntoconjunto) finito de los naturales donde los axiomas se traducen en condiciones aritméticas. En cuanto mire si las condiciones “importantes” (sobre las que iba la charla) también pueden reescribirse en ese conjunto, escriba un draft, y se lo cuente a Zagier, os comento los detalles por aquí.

Ya me temía yo que esto de meterme en un edificio con tanto teórico de números suelto no iba a ser nada bueno para mi línea de investigación, máxime cuando mi jefa sigue por ahí de viaje hasta primeros de febrero :-/
vengoroso - 20 01 08 - 10:53

Tengo una hija q esta haciendo una tesina de geometrías finitas y no hemos encontrado textos que hablen de porqué un plano proyectivo de orden 10 no se puede contruir. Podría de favor alguno de uds. orientarnos?
Gracias y saludos
Dulce Ma. Ramos - 25 11 08 - 21:24

la geometria es algo depende de todos los cuerpos geometricos analizando que se divide en dos partes una se llama geometria plana y la otra geometria del espacio como tambien en ellas dos definiciones encontramos queestan integradas en los cuerpos geometricos.
luis - 20 02 10 - 01:45

no tienen todas las informaciones que unos les pide
reyna manuela - 02 03 10 - 03:39

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