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Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados

Demostración en una frase (por Don Zagier)

Saludos, BK2 y BKdas y lectores varios. Como duplecillos me recuerda en la entrada anterior, para poder acceder al artículo que os citaba es necesario estar suscrito al JSTOR. Como ese no es el caso para la mayoría de nuestros lectores, y total, dado que la demostración ocupa una frase, hemos pensado en reproducirla aquí para disfrute y deleite de nuestros lectores.

Así que, sin más dilación, la demostración que todos ustedes estaban esperando...

Teorema: Si es un número primo tal que , entonces es suma de dos cuadrados.

Demostración: En el conjunto finito , la involución definida mediante

tiene un único punto fijo, por lo cuál el conjunto debe tener un número impar de elementos, y como consecuencia la involución también debe tener un punto fijo.

Algunos comentarios a la demostración, con vistas sobre todo a dejar claro por qué dicho argumento es completo; para empezar hay algunas afirmaciones implícitas, pero todas son inmediatas. En concreto son las siguientes:

1. El conjunto es finito, como se ve directamente del hecho de que cada una de las coordenadas no puede nunca ser mayor que el primo (evidentemente se pueden dar cotas mejores para cada una de las entradas, pero con esta nos basta para la finitud). Notemos además que al exigirse que sea primo, ningún elemento de puede tener una coordenada nula.
2. La aplicación dada está bien definida. Todas las coordenadas que aparecen son positivas (por las condiciones puestas en los intervalos de definición), y la terna resultante vuelve a ser un elemento de como se comprueba sin más que desarrollar las cuentas correspondientes.
3. La aplicación es una involución (esto es, una aplicación cuyo cuadrado nos da la identidad). Con esta hay que tener un poco de cuidado en ver a qué intervalo pertenece la imagen de un punto según el intervalo en el que estuviera el punto, pero también es inmediato. Por ejemplo, si para el punto estamos en el primer caso (esto es, ), entonces su imagen, que será , está en el tercer caso, al verificarse que . Ahora es fácil ver que al aplicar de nuevo nuestra función volvemos a obtener el punto . Los demás casos son igual de sencillos.
4. La involución tiene un único punto fijo. Si buscamos puntos fijos en el primer caso, vemos que necesariamente se debería tener , y que entonces la tercera coordenada de la imagen sería , que no puede ser natural (recordemos que todas las coordenadas eran distintas de 0). De manera similar, un hipotético punto fijo del tercer caso debería verificar , de donde tedríamos la nulidad de la coordenada , que tampoco puede darse. Así pues, sólo puede haber puntos fijos en el segundo caso. Para los puntos en esta situación, la condición de ser fijos se reduce a , con lo cual el problema de los puntos fijos se nos reduce al de buscar puntos de la forma en el conjunto , o lo que es lo mismo, que verifiquen que . Sacando factor común nos queda , de donde por ser primo se tiene que necesariamente , y el único punto fijo es . Aquí se obtiene también la necesidad de que se escriba de la forma .

Ahora, es evidente que si un conjunto finito admite una involución con un número impar de puntos fijos, entonces dicho conjunto debe tener cardinalidad impar. De hecho, esto es parte de un principio más general, que nos dice que un conjunto finito y el subconjunto de sus puntos fijos para cualquier involución tienen siempre la misma paridad. Este resultado es el análogo combinatorio de un resultado topológico: "La característica de Euler de un espacio topológico y el conjunto de puntos fijos de dicho espacio bajo cualquier involución continua tienen siempre la misma paridad". Así, la segunda involución también debe tener al menos un punto fijo, lo cual nos dice que en debe existir un elemento de la forma , y para todo elemento de esta forma que pertenezca a se tiene que , por lo que se escribe como suma de los cuadrados de y .

Conviene señalar además que esta demostración es no constructva, es decir, nos demuestra que existe una descomposición de como suma de dos cuadrados, pero no nos dice cuáles son estos dos cuadrados. Esto es un fenómeno recurrente en demostraciones analíticas y topológicas que se basen en teoremas de punto fijo.

vengoroso - Algo de ciencia

tres comentarios:

Además de ocupar una línea, es que es bastante elemental. Por cierto, si es congruente con 3 nunca es una suma de dos cuadrados.
duplecillos el numídico - 21 01 08 - 21:36

Es verdad, las técnicas son elementales y la demostración es una obra de arte, pero digamos que no te ilumina, por lo menos a mí... Seguramente contiene muchas buenas ideas, y esto es el resultado de condensarlas al máximo, así que están muy ocultas.
Corleone (URL) - 22 01 08 - 13:02

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Arlene24FULLER (URL) - 03 07 10 - 03:12

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