Geometría de Finsler (2)
La transformada de Legendre
Saludos, BK2 y BKdas y lectores varios. Seguimos hoy con nuestra breve introducción a las herramientas básicas de ese ente misterioso que es la geometría de Finsler. Como ya os prometí, hoy vamos a hablar acerca de la transformada de Legendre y sus aplicaciones en geometría y física.
A lo largo de toda la introducción anterior trabajamos con un espacio vectorial de dimensión finita . Sabemos que a todo espacio vectorial podemos asociarle siempre su espacio dual, denotado por
, que no es sino el espacio formado por todas las aplicaciones lineales
, con la suma y el producto por escalares definidos de manera puntual. Cuando el espacio
es de dimensión finita, como en el caso que nos atañe, el espacio dual tiene la misma dimensión que el espacio original, y por tanto es isomorfo a éste. Sin embargo, este isomorfismo (que no se tiene si el espacio es de dimensión infinita) no está definido de forma canónica, esto es, no hay una manera natural de definir un isomorfismo entre un espacio vectorial (de dimensión finita) y su dual.
Sí que es posible dar ejemplos de isomorfismos entre y
que se obtienen fijando una base del primer espacio, pero dichos isomorfismos tienen el problema de tener una fuerte dependencia en la elección de la base, lo cual conlleva un comportamiento bastante desastroso ante las operaciones de cambio de coordenadas, que cuando uno quiere hacer geometría y no sólo álgebra son el pan nuestro de cada día. Sin embargo, si en nuestro espacio vectorial tenemos alguna estructura adicional sí que es posible dar isomorfismos entre el espacio y su dual con un comportamiento más manejable. El prototipo de esta situación nos lo da un espacio vectorial euclideo
; el hecho de tener un producto escalar fijo en el espacio nos permite considerar la aplicación
dada por
que lleva cada vector
en la aplicación lineal "multiplicar escalarmente por
". Es fácil comprobar (usando bases ortonormales) que esta operación nos da efectivamente un isomorfismo.
Puesto que un producto escalar euclídeo va cogidito de la mano de una norma del mismo tipo, uno podría preguntarse si sería posible escribir el isomorfismo anterior exclusivamente en términos de la norma, y ya que estamos, es natural preguntarse, en caso de que dicha reformulación fuera posible, si el mismo procedimiento vadría al sustituir la norma euclídea por otra norma más general. En efecto, estamos hablando de las normas de Finsler que introdujimos en el capítulo anterior.
Supongamos entonces que tenemos nuestro espacio vectorial , dotado de una norma de Finsler
. A partir de la norma
podemos inducir una nueva norma de Finsler en el espacio dual
mediante la expresión
esto es, a cada forma lineal le asignamos el máximo de los valores que dicha forma toma en la indicatriz (la esfera unidad de la norma ). Esta aplicación está bien definida, y tiene un valor finito, por la compacidad de la indicatriz, pero no es fácil probar que nos define una norma (de Finsler) en el espacio dual. Para demostrar esto, empleamos la denominada transformada de Legendre, una aplicación
definida, para
mediante
,
donde era la forma bilineal asociada al vector
a partir de la norma de Finsler que veíamos el último día, y donde también ponemos
. La transformada de Legendre nos permite relacionar de manera sencilla las aplicaciones
y
mediante la expresión
, así como obtener una variante del teorema de Riesz, que se reformula simplemente diciendo que
es un isomorfismo de espacios vectoriales.
Usando esto, junto con una buena ración de notación para referirnos a las componentes de la métrica y su inversa, se puede demostrar que la aplicación
es efectivamente una norma de Finsler en el espacio dual
, y que los componentes de las formas bilineales asociadas a dicha norma se relacionan con sus equivalentes en
siempre a través de la transformada de Legendre. La demostración de estos hechos no es complicada, y se basa en probar que
nos induce un difeomorfismo entre
y
; el resto es jugar con notación y con algunas propiedades derivadas de la homogeneidad (si alguno tiene especial interés en la demostración, que me lo diga en los comentarios y le doy referencias).
Bueno, con esto concluímos el arsenal básico referido a espacios vectoriales que nos hace falta para empezar a hablar de la geometría de Finsler. Pero para esto tendréis que esperar al próximo capítulo...
vengoroso - Algo de ciencia
seis comentarios:
Esto suena a cosas conocidas… En el caso de una norma euclídea, la transformada de Legendre de la que hablas no es más que la identificación entre el espacio y su dual dada por un producto escalar. Lo que me llama la atención es que le llames transformada de Legendre, y que seguramente tenga mucho que ver con la transformada de Legendre en su sentido más común… ¿Qué relación tienen? La transformada de Legendre se disfraza más que Mortadelo, y a veces es muy difícil distinguir si es la misma o no… ¡Fíjate que hasta las definiciones de la Wikipedia en inglés y en español parecen completamente distintas!
Corleone (URL) - 16 02 08 - 18:27
Pues la verdad es que no conocía la definición que das tú, pero me da la impresión de que son la misma cosa. Ojo con lo de “la identificación entre el espacio y su dual dada por un producto escalar“, esto sólo es verdad en dimensión finita. Si nuestro espacio es de dimensión infinita no hay identificación que valga. Por eso la definición de la wikipedia (hecha sobre el espacio de funciones derivables en un abierto de un espacio euclideo, que es un espacio de dimensión muy infinita) no viene dada mediante un producto escalar. En este caso, además, nos daría un automorfismo del espacio vectorial en sí mismo (en vez de un isomorfismo con el dual), así que son la misma cosa… pero sin ser la misma cosa. En el caso de dimensión finita, te vas al dual y punto, en dimensión infinita, te pasas al dual y luego te vuelves al predual. El señor duplecillos puede contar anécdotas de como se complica ese proceso a veces ;-)
vengoroso - 19 02 08 - 14:33
Pero espera… En esto de la geometría de Finsler podemos quedarnos por ahora con las cosas de dimensión finita, ¿no? Tu v y v* son de dimensión finita, ¿no?
Y es verdad, la definición de "transformada de Legendre" que conocía yo es algo que transforma una función convexa en otra función convexa. La de aquí es algo que transforma vectores, así que en principio no tienen nada que ver. Lo que hace oír campanas sin saber dónde es la definición de F* de arriba, y el hecho de que la transformada de Legendre (usual) cambia el argumento de una función entre un espacio y su dual… En realidad esto es muy impreciso, con lo que yo me quedo por ahora es: no tienen nada que ver, pero mantén los ojos abiertos por si acaso.
Corleone (URL) - 19 02 08 - 16:19
Sí, para la geometría sí nos podemos quedar con dimensión finita: los espacios vectoriales que usaremos luego serán los espacios tangentes.
Para lo de las funciones convexas, bueno, aquí hay un pequeño problema. Las funciones convexas no forman un subespacio vectorial de las funciones diferenciables (la opuesta de una función convexa no es convexa), pero sí son cerradas para sumas y productos por reales positivos, así que forman una especie de semiespacio. Supongo que la definición de transformada de Legendre es válida en todo el espacio de funciones diferenciables, y que se podrá comprobar fácilmente que este semiespacio es invarainte al aplicar la transformada, lo que te permite especializarla al caso de funciones convexas.
Yo te digo que creo que sí que son la misma cosa, pero que como la definición que he dado yo no vale para dimensión finita, en dimensión infinita hacen falta cosas más complicadas, y esa es la definición que viene en la wikipedia.
Pero vaya usté a saber, lo mismo pasa como con los operadores de Hecke, que según donde te los encuentres son cosas diferentes que no tienen nada que ver entre sí.
vengoroso - 20 02 08 - 04:17
La calle Legendre me pilla aquí al lado, voy a pasarme y le pregunto si está al corriente de para qué han usado su nombre.
Corleone (URL) - 20 02 08 - 06:02
Hola:
Legué a esta página buscando en la red y deseando saber un poco más de Finsler y su geometría, pero estos dos artículos son demasiado técnicos para mí, yo en realidad estaba buscando una explicación no técnica, o no en base a formulas complicadas, para tratar de entender algo al respecto. Pues bien, la razón de este comentario es para dejarles la siguiente dirección: http://kinochka.ucoz.com/news/2010-01-29.., este es un documental que esta en ruso y que me explicó de que se trata la geometría de Finsler y en que estado de desarrollo se encuentra en Rusia para ver si, según se dice en el documental, sirve o no sirve para explicar, aparece una frase al final del documental, como está construido el mundo y el universo. El documental se llama, el mundo anisotrópico, y me explicó de una manera bastante clara y sin demasiados tecnicismos de que se trata el asunto y que es lo que se pretende, y si sirve o no la geometría de Finsler, lo que no está aún claro se dice en el documental, para explicar este mundo y el universo. Creí pertinente hacer este comentario e incluir aquí la dirección donde se puede ver este documental, porque si aquí se cita como fuente la wikipedia en los comentarios, entonces se puede incluir un documental explicatorio respecto al tema sin ningún problema pienso yo y sólo con el ánimo de contribuir a la claridad en el tema.
kotkuzia - 16 07 10 - 22:19
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